Součet a součin I

Města budeme značit Z (západní), V (východní), J (jižní) a S (severní).

1. (a) Plán vlevo: Ze Z přes J vedou do V $2$ cesty. Přes S vede $3\cdot2=6$ cest. To dohromady dává $2+6=8$ cest.

   Plán vpravo: Přes J vede $3\cdot2=6$ cest a přes S vede $4\cdot1=4$ cest. Celkem tak můžeme jet $6+4=10$ cestami.

2. (b) Můžeme postupovat metodou pokus–omyl. Jinou možností je uvědomit si, že kdybychom zrušili jednu linku
   

Jediným řešením je tedy zrušení linky ze Z do J.

1. (a) Mezi první dvojicí měst musíme využít čárkovanou linku, takže máme jen $5$ možností, jak se dostat ze západního města do východního.
2. (b) Ze stejného důvodu jako v části (a) máme na výběr z $5$ cest.
3. (c) Čárkovaná linka tedy nabízí $5$ cest, stejnětak tečkovaná linka nabízí $5$ cest. Podobně i každá „obyčejná“ (modrá) linka vedoucí mezi první dvojicí měst nabízí svých $5$ cest. To dává $5+5+5+5+5+5=6\cdot5=30$ cest.
4. (d) Linku je potřeba přikreslit mezi první dvojici měst, pak bude počet cest $7\cdot5=35$.

1. (a) Po využití čárkované linky máme na výběr z $2\cdot2=4$ cest.
2. (b) Po využití tečkované linky máme na výbět také $2\cdot2=4$ cest.
3. (c) Čárkovaná linka nabízí $4$ cesty. Tečkovaná linka nabízí také $4$ cesty a obyčená (modrá) linka taktéž. To je celkem $4+4+4=3\cdot4=12$ cest. Můžeme počítat také jako $3\cdot2\cdot2=12$.

Řešení 1: Můžeme vypsat všechny možnosti. Názvy států zkracujeme prvními písmeny.

Výpis možností nám mnohdy napoví, jakým způsobem možnosti spočítat méně pracně. Doporučujeme jej v každé úloze, se kterou si nevíme rady.

Řešení 2: Pokud bude ve finále Argentina, bude jejím soupeřem jeden ze $6$ týmů ze skupiny B. Podobně pokud bude ve finále Česko, bude jeho soupeřem také jeden ze $6$ týmů ze skupiny B. Stejnou úvahu můžeme provést pro každý tým ze skupiny A. Celkem dostáváme $6\cdot6$ možných finálových dvojic.

Řešení 3: Úlohu vyřešíme podobným obrázkem jako úlohy o cestách. Vybarvením cesty ze „sk. A“ do „sk. B“ jednoznačně určíme finálovou dvojici. (Názvy států jsou zkráceny prvními písmeny.)

1. (a) Uvažujeme stejně jako v úloze 3 (c). Počet cest je $4\cdot4\cdot4=64$.
2. (b) Pokud obě zrušené linky vedly mezi stejnými městy, bude nový počet cest $32$ (spočítaný jako součin $2\cdot4\cdot4$, nebo jako $4\cdot2\cdot4$, nebo $4\cdot4\cdot2$). Pokud zrušíme linky mezi různými městy, bude počet cest $36$ ($3\cdot3\cdot4$, nebo $3\cdot4\cdot3$, nebo $4\cdot3\cdot3$). První možnost zajistí větší pokles.
3. (c) Pokud obě linky přikreslíme mezi tutéž dvojici sousedních měst, bude nový počet cest $96$ ($6\cdot4\cdot4$, nebo $4\cdot6\cdot4$, nebo $4\cdot4\cdot6$). Pokud linky přikreslíme mezi jiná sousední města, bude nový počet cest $100$ (spočítaný jako $5\cdot5\cdot4$, nebo jako $5\cdot4\cdot5$, nebo $4\cdot5\cdot5$). Přikreslit linky mezi nesousední města se nevyplatí.

   Za kreativní lze považovat nápad kreslit linky v protisměru. Pak by se dal počet cest považovat za nekonečný. Záleželo by například i na přesném vymezení cesty z východu na západ. Kdybychom chtěli zadání precizovat, abychom takovou možnost nepřipustili, výrazně by se prodloužilo.

Ve finále bude přesně jeden tenista z „horní poloviny pavouka“ (tj. jeden ze čtveřice ND, FM, RF, MY) a přesně jeden tenista z „dolní poloviny pavouka“. To dává $4\cdot4=16$ možných finálových dvojic.

Pokud mezi nějakými dvěma městy vedou už pouze dvě linky, nikdo nebude chtít mezi nimi smazat další linku (to by při tahu soupeře prohrál). Bezchybná hra se tedy vždy po $6$ tazích dostane do situace, ve které mezi každými dvěma sousedními městy vedou přesně $2$ linky. Hráč na tahu je pak odsouzen k prohře.

1. (a) Bezchybná hra má vždy $8$ tahů.
2. (b) Výhru si může zajistit Dan. Může například na každý Petrův tah odpovědět zrušením linky mezi stejnými městy.